المتباينة تعتبر شكل من أشكال العمليات الرياضية في علم الرياضيات وبالأخص الجبر الذي يعتبر جزء لا يتجزأ من مجال علم الرياضيات، والمتباينة يمكن أن يتم تطبيقها أو تمثيلها على ورق الرسم البياني.
وهذا ما يجعلنا نقول أن التمثيل البياني المقابل يمثل المتباينة س أصغر من -4 ، س أكبر من -3، وذلك يتبين عندما نقوم بالنظر إلى الناحية اليمنى في الرسم البياني المقابل سوف نلاحظ وجود سهم متجه في اتجاه الأرقام الكبرى التي تمثل قيمة أكبر من العدد -3 ومن هنا نقول أن المتباينة الأولى يرمز لها س على سبيل المثال، وتكون أكبر من -3.
وفي حال إن قمناً بالنظر إلى الناحية اليسرى، فسوف نلاحظ أن السهم المتجه ناحية الأعداد الصغرى التي تبلغ قيمتها حوالي -4 وهنا تحديداً تكون المتباينة المعبرة عن هذه القيمة العددية يُرمز لها أيضاً س وتكون أصغر من -4.
والجدير بالذكر أن المتباينات تعتبر إحدى القواعد الرئيسية في علم الرياضيات، والتي تساهم في تكوين عدة علاقات هامة في هذا العلم، كما أن هناك شبهاً كبيراً للغاية بين المتباينات وأنواعها المختلفة وبين المعادلات الحسابية الرياضية، إلى جانب أن المتباينة تمتاز بأنها لديها عدة تطبيقات مختلفة تساعد في تثبيتها في الأذهان مثل أنه من الممكن أن يتم حل عدة مسائل وتطبيقها على الرسم البياني لعدة مرات مما يساهم في تسهيلها وتثبيتها في أذهان الطلاب بشكل أكبر وأسهل.
مفهوم المتباينة
تُعرف المتباينة في علم الرياضيات بأنها بيان لعدة علاقات تقوم بترتيب أكبر من أو يساوي أو أقل من أو يساوي، وتكون هذه العلاقات بين رقمين فقط وليس أكثر من ذلك، كما أنها من الممكن أن تكون بين عدة تعبيرات خاصة بالجبر خالية تماماً من الأرقام.
من الممكن أن يتم طرح المتباينة في هيئة أسئلة مثل المعادلات الرياضية مثلاً ومن الممكن أن يتم حل هذه المعادلات وفقاً لمجموعة من التقنيات المتشابهة من خلال عدة بيانات واقعية مطروحة على شكل نظريات، على السبيل المثال تنص متباينة المثلث مثلاً على أن هناك مجموعة من الأطوال أو الضلوع الخاصة بالمثلث، تكون أكبر من أو يساوي الطول الخاص بالضلع المتبقي، وهذه المتباينة اعتمدت على التحليل الرياضي الخاص بتحليل متباينة كوشي – شوارتز.
يطلق العديد من العلماء على المتباينة عدة أسماء منها المتراجحة، وهذا بسبب أنها في الأساس تقوم بالتعبير عن الاختلاف الكامن والموجود بين قيمتين أو عنصرين تكون إحدى القيم لتلك القيمتين ذات قيمة أكبر أو أصغر، أو تساوي أو لا تساوي للقيمة الأخرى، مثال عندما نقول مثلاً أن (أ لا تساوي ب) فهذا قد يحمل عدة معاني أن من الممكن أن تكون أ أكبر من ب، ومن الممكن أن تكون ب هي التي تحمل قيمة أكبر من أ.
مثال آخر س = ص بمعنى أن س تحمل نفس قيمة ص من الممكن أن يتم التعبير عنها بالمتباينة من خلال الآتي:
س > ص وهذا معناه أن س أكبر من ص.
س<ص وذلك يعني أن س تحمل قيمة أصغر من قيمة ص.
ومن الممكن أن تكون قيمة س تساوي قيمة ص أو تكبرها، ومن الممكن أن تكون قيمة س تساوي قيمة ص أو تصغرها أيضاً.
علماً بأن المتباينة التي قد تحتوي على متغير واحد فقط تعتبر بمثابة جملة مفتوحة لإن عندما يتم استبدال هذا المتغير برقم قد تكون الجملة النهائية الناتجة إما أن تكون صحيحة أو خاطئة، وفي حال إن كانت الجملة صحيحة فإن ذاك الرقم يعتبر هو الحل للمعادلة أو المتباينة.
أشهر أنواع المتباينات في الجبر
توجد العديد من المتباينات الحسابية في علم الجبر لذلك سوف نقوم بعرض أهم تلك المتباينات في الأتي:
متباينة بونكاريه
متراجحة كولمو غوروف
متباينة برونولي
المتباينة المثلثية
متراجحة بول
متراجحة أزوما
متباينة تشيبشف
متباينة كوشي – شفارز
أنواع المتباينات
هناك ثلاث أنواع أساسية ورئيسية للمتباينات في العموم سوف نقوم بعرضهم في التالي:
المتباينات الخطية
ترتبط المتباينات الخطية في علم الرياضيات بالمقارنات التي تحتوي على قيم غير متساوية بين رقمين أو تعبيرين رياضين أو عنصرين، ففي العموم من الممكن أن يكون عدم المساواة الكامن بين الرقمين أو بين التعبيرين أو العنصرين يكون عبارة عن عدم مساواة في القيمة العددية فقط أو قد يكون عدم مساواة في القيمة الجبرية وأحياناً يكون مزيجاً بين الإثنين معاً.
ومن هنا يتضح المفهوم الخاص بالمتباينة الخطية في كونها تعني التفاوت الذي يحتوي على تعبيراً جبرياً خطياً واحداً على الأقل، بمعنى أن يكون ذا حدود كثيرة تكون بدايةً من القيمة رقم واحد حيث يتم مقارنة تلك القيمة مع أحد التعبيرات الجبرية والتي قد تكون بدرجة أقل من أو تساوي قيمة واحد.
هناك العديد من الطرق التي يتم تمثيل المتباينات الخطية من خلالها سواء كانت هذه المتباينات تعكس أن القيمة تساوي قيمة مشابهة لها أو أن القيمة لا تساوي قيمة مشابهة لها.
المتباينات الغير خطية
هناك العديد من علماء الرياضيات والجبر الذين قاموا بإطلاق مصطلح المقاطع المخروطية على مصطلح المتباينات الغير خطية وذلك بسبب أن تلك المتباينات تقوم بدور هام في كونها ذا معادلة واحدة على الأقل حيث أنها في أغلب الأوقات تكون مكونة بداخلها من عدة معادلات غير خطية.
تُعرف المعادلة الغير خطية بأنها تلك المعادلة التي تحتوي في داخلها على قيمة ما تكون على الأقل ترفع إلى القوة بمقدار اثنان أو أكثر مثل (x^2 + 3x+2<0) ، ومن هنا تقوم هذه المعادلة بدورها في إنتاج عدة خطوط منحنية يتم التعبير عنها ورسمها في الرسم البياني.
وهذا بجانب أن المتباينة الغير خطية الواحدة تحتوي على الأقل على عدة انحناءات فإنها نادراً ما تحتوي على انحناء واحد، ولكن المؤكد أنها ذات أنظمة تجعلها تنتج عدة حلول، وذلك يجعله تتشابه قليلاً بالمتباينات الخطية، علماً بأنه من الممكن أن يتم استخدام نظام التعويض في حل المتباينات الغير خطية ذات المتغير الأوحد.
والجدير بالذكر أن الحل الرياضي الخاص بالمتباينات الغير خطية بأنظمتها المختلفة يتشابه إلى حدا ما مع الحل الرياضي الذي يتم حل المتباينات الخطية به، وعلى الرغم من أن المتباينات الغير خطية من الممكن أن يتم استخدام نظام التعويض بها ولكن مثلما ذكرنا في السابق بأنه قد ينجح هذا النظام فقط في المتباينات ذات المتغير الأوحد.
ولكن في باقي المتباينات الغير خطية التي تحتوي على عدة متغيرات قد لا يكون نظام التعويض بها فعال نهائياً، بل أنه يصبح غير مجدي وغير عملي بالمرة وذلك بسبب انها تحتوي على عدة مصطلحات غير متشابهة وغير متماثلة تماماً، وهذه الحالة تعتبر هي الأكثر شيوعاً في المسائل الخاصة بالمتباينات الغير خطية.
المتباينات الكسرية
وهي المتباينات التي تحتوي في داخلها على مجموعة من الكسور، مثل (x^2 + 3x +2) / (x -2)، فعند البدء في حل هذه المتباينة الكسرية يجب أن بتم ضرب كلا الطرفين بقيم موجبة فقط وإلا سوف يتم تغير علامة المتباينة الكسرية.
